1.6.4 Преобразуване на машинните кодове

Machine codes conversion

След като в § 1.2 и в § 1.3 беше изяснено, че оперирането с естествения вид на числата е затруднено, беше потърсено удобно за тях представяне. Такова беше намерено в лицето на допълнителния код. Удобството на този код се състои в това, че оперирайки в негови условия, се освобождаваме от проблемите, които пораждат знаците на числата. С други думи, при операция събиране и при операция изваждане, в крайна сметка ние винаги събираме две кодови комбинации. Свеждането на тези операции до обикновено n-битово събиране се постига благодарение на теорема (1.6.2.17). Тъй като операция събиране има своята техническа реализация, то вече е напълно ясно, че оперирането с числата е принципно решима задача.

Това, което остава все още неизяснено е как ще се пренасяме от нашите естествени условия в условията на горе споменатата теорема и обратно. Следователно тук става въпрос за това как от естествения вид на числата ще получаваме техния допълнителен код и обратно, когато получим резултат, който е в допълнителен код, как ще го преобразуваме в неговия естествен вид. Въпросът е актуален, тъй като математическата формула (1.6.2.10), с която определихме кода, съдържа в себе си операция изваждане, от която всъщност искахме да се избавим. От този “омагьосан кръг” разбира се има изход и той ще бъде изяснен по-долу.

Преходите от естествен вид на числото към код и обратно следва да се постигат чрез операции, които имат техническа реализация, ето защо чисто математическото определение не е достатъчно. За да получим необходимото решение на проблемите, свързани с преходите, следва да включим в разглеждане някои допълнителни обстоятелства. Съществуват две много важни обстоятелства, които в подобни ситуации ни помагат. На първо място трябва да обърнем внимание на факта, че преди да се пристъпи към определяне кода на дадено число, то се представя в двоична бройна система. От математическа гледна точка този факт е без значение, но в смисъла на тук поставената задача, той има решаващо значение, защото той е свързан с друг един факт, според който двоичните цифри могат да се интерпретират като логически константи. Тези обстоятелства са в основата на техническата реализация на операция събиране, което е подробно изложено в книга [2].

В търсене на алгоритъма на прехода от число към код, ще отбележим, че като начало следва да бъдат осигурени изходните предпоставки, а именно – числото да бъде изобразено в двоична бройна система и да бъде поместено в разрядната мрежа. С други думи процесът на получаване на допълнителния код ще изхожда от съдържанието на разрядната мрежа, което според споменатите предпоставки представлява правия код на числото (вижте определения (1.6.1.1) и (1.6.1.2)).

По-нататък, по силата на (1.6.2.10), трябва да се анализира знакът на числото, т.е. съдържанието на (n-1)-първия бит на разрядната мрежа (вижте фигура 1.1.6.1.3). Ако числото е положително, съдържанието на разрядната мрежа остава непроменено, но вече се нарича допълнителен код, т.е.

Ако обаче числото е отрицателно, допълнителният код представлява числото

Тъй като модулът на кода е равен на модула на разрядната мрежа N (1.6.2.6), записаната разлика е числото

Последният вид на разлика ще интерпретираме въз основа на особения вид на умаляемото, което може да бъде изразено така

N = (N-d) + d , (1.6.4.1)

където d е дискретът на разрядната мрежа (1.1.6.1.4).

След като кодовата комбинация се интерпретира като число без знак с дясно фиксирана запетая, тогава можем да приемем, че d=1 или N=(N-1)+1. Ще означим специално полагането

Замествайки получения израз, за допълнителния код ще получим следния израз:

Полученият израз може да се интерпретира като съставен от две части – част първа:

и част втора: +1.

Както се вижда, операция изваждане продължава да присъства в израза. Ако успеем обаче да намерим стойността първата част, достатъчно е към нея да прибавим единица и ще получим допълнителния код.

Ясно е, че проблемът ни е в първата част на израза (1.6.4.3). Умаляемото на тази разлика е числото

което според предварителните констатации може да бъде записано така:

Както може да се види, изпълнението на операция изваждане по определение води до резултат, който представлява n-разрядно число, съдържащо във всеки отделен разряд една и съща цифра. Тази цифра r, определена в пункт 1.1.1, е максималната за съответната бройна система (r=q-1). В случай на двоична бройна система r=1. При това положение разликата

представлява n-разрядно число съставено само от единици.

Сега вече остава да разгледаме двоичната разлика Q-|X|, която след горните съждения ще запишем както следва:

Модулът на числото, като умалител в горната разлика, е изразен със старша незначеща цифра нула, тъй като позволената дължина на цифровата част на разрядната мрежа е (n-1) разряда (вижте фигура 1.1.6.1.3).

В така представения запис се вижда, че търсената разлика може да се получи поразрядно, т.е. всяка нейна цифра се получава като разлика от максимално възможната за бройната система и текущата на числото:

Тъй като при това положение възникването на заеми е невъзможно, то резултатът във всеки един разряд ще се получи независимо от резултатите в останалите разряди, т.е. поразрядно.

И така, все още не сме се освободили от операция изваждане. За сега успяхме само да я сведем от многоразрядна към едноразрядна. Резултатът от едноразрядната операция изваждане обаче може да бъде изразен както следва:

който лесно може да бъде доказан, ако променливата в дясната част на равенството се интерпретира като логическа! По силата на този извод се стига до заключението, че поразрядното двоично изваждане може да бъде заменено с поразрядна логическа операция инверсия, т.е.

Този резултат е забележителен с това, че той се получава не в резултат на фактическо изпълнение на операция изваждане, а в резултат на оползотворените предпоставки, на които по-горе беше обърнато внимание.

Така за отрицателни числа може да се запишем, че

което изразява аналитично процеса на преход от прав код на числото

в допълнителен.

Въз основа на същия анализ може да се покаже, че преходът от допълнителен код в прав код може да се извърши в същия порядък, вместо в обратен, т.е.

Зависимостта (1.6.4.8) изразява същността на процеса на решение на правата задача за сравнимост, изразен на фигура 1.6.2.4. С други думи зависимостта е циклическа:

Последното означава, че вместо два алгоритъма за преход от един код в друг, може да се използва само един – този за преход от прав в допълнителен код.

Всички заключения, направени в този раздел, са числено илюстрирани с множество примери, които читателят може да на мери в книга [2].

Следващият раздел е:

1.6.5 Обратен код ( One's complement representation )